暗物質直接偵測實驗之與模型無關數據分析

更新日期:101 1 31
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傳統上,暗物質直接偵測(direct Dark Matter detection)實驗的數據分析建立在「重建反衝光譜(reconstructing the recoil spectrum)」上。對此除了需要知道探測器材料、有效質量(fiducial mass)、實驗進行時間(live time)等基本資料外,也需要利用到天文物理學的本銀河系光暈(halo)結構模型、 WIMP 粒子在太陽系附近的局部密度(local WIMP density)以及一維速度分佈函數(one-dimensional velocity distribution function),更需要粒子物理學的(超對稱(supersymmetric))模型來假設 WIMP 粒子的質量以及與原子核之間彈性散射截面(scattering cross section)的形式和量值。理論上來說,在擬合(fitting)實驗數據和理論預測的反衝光譜後,我們應可估計出如 WIMP 質量等參數值。

然而,雖然透過天文學多項觀測結果,我們可以對本銀河系光暈的結構和 WIMP 粒子的局部密度有一個基本的概念,其不確定性仍有數倍之差。相對於此,我們對 WIMP 粒子的基本性質則可以說完全沒有概念,光質量的理論預測值就在數個 GeV 至數個 TeV 的範圍內(還有一些非 WIMP、但是可能和原子核間發生彈性或非彈性散射(inelastic scattering)而可能被直接偵測到的理論暗物質粒子,其質量可以是 MeV 甚至 keV 量級)。至於 WIMP 粒子和原子核中質子、中子間的交互作用,不僅強度、甚至連形式(僅與原子核的質量有關(coherentspin-independent)亦或是與 WIMP 粒子的自旋有關(spin-dependent))至今都沒有任何(加速器)實驗資料來提供實驗物理學家一個大致的預測方向。

我和我的博士論文指導教授 Manuel Drees 所做的工作則是希望可以改變數據分析工作進行的方式。更具體地來說,我們希望發展出一套可直接利用實驗數據—即每一個 WIMP 信號所傳遞給原子核的反衝能量—以決定出如 WIMP 質量等的全新方法。


重建 WIMP 一維速度分佈函數

我們工作的第一步,是考慮如何利用實驗所測量之反衝光譜直接計算出 WIMP 粒子的一維速度分佈函數。在我們所發展的計算過程中,完全不需要利用到 WIMP 的局部密度,也不需要考慮散射截面的量值,至多由於需要代入一彈性散射的原子核形狀因子(nuclear form factor),而必須考慮 WIMP 粒子和原子核之間的交互作用形式為與自旋無關(與原子核質量平方成正比)或有關。然而對大部分的探測器材料來說,由於其原子核之重質量,且原子核中質子、中子之自旋各自互相抵銷,在理論上彈性散射截面應主要為與自旋無關項目的貢獻,也因此,採用與自旋無關的散射截面之原子核形狀因子應為合理的作法。

同時,利用我們得到的 WIMP 粒子一維速度分佈函數的計算公式,亦可直接推導出估計其矩值(moments of the velocity distribution function)的公式。這個估算 WIMP 粒子一維速度分佈函數之矩值的方法不但理所當然地與 WIMP 的局部密度以及散射截面量值無關,甚至由於是直接利用實驗所測量之反衝光譜,並非透過事先重建速度分佈函數後間接計算出,讓我們在可以直接估算、利用一維速度分佈函數之矩值,其強大的威力在後面的工作中展現無遺。

雖然上述的工作成果具有相當多的優點,一個相當關鍵的弱點則是:我們需要一條反衝光譜曲線。為了給定這條曲線,我們還是得回到傳統的數據分析工作中、利用本銀河系光暈和/或理論預測之暗物質粒子模型做預測、並調整各個參數、與實驗數據做比較……因此,為了讓整套數據分析方法盡可能地與模型無關,我們花了非常長的時間,做了許多不同方向的嘗試,終於找出一套能夠有效利用每一個 WIMP 信號所釋放至探測器的反衝能量的方法。

在這套方法中,「與 WIMP 粒子在太陽系附近的局部密度以及與 WIMP 和原子核之間的散射截面量值無關」,且「不需要重建速度分佈函數即可估計其矩值」等前述的各項優點,均被完全保留;同時更重要的是,我們可以將所有包含反衝光譜曲線的項目以由實驗所測量得到之反衝能量可直接決定出的量來取代。也就是說,傳統上由於不同的理論模型所造成的系統誤差(systemic error),如:暗物質的局部密度(誤差為數倍)、太陽系繞本銀河系中心的旋轉速度(誤差可達百分之二十以上)等,如今可以完全被避免。不同粒子物理模型對可能為暗物質 WIMP 粒子的質量、以及與標準模型粒子間的交互作用等所做的估計、或說「猜測」(差距可達數個數量級)更可以完全忽略。

同時,在利用理論預測的反衝曲線擬合實驗數據的傳統過程中,測量得到的反衝能量將首先被劃分至不同的能量區間(binning)。如此一來,為了將實驗的統計誤差(statistical error)減低到可以接受的範圍,數千至上萬個 WIMP 事件乃是最低的需求。而 Monte Carlo 模擬結果顯示,若採用我們所發展出來的直接利用測量所得反衝能量的數據分析方法,僅需約五百個 WIMP 信號即可重建其一維速度分佈函數;至於估計此速度分佈函數之矩值,由於我們完全不需要先將反衝能量劃分至不同的能量區間而是同時利用所有的實驗數據,更僅僅需要幾十個事件即可得到相當準確的結果。

值得特別強調的是,在每年每一百公斤的探測器材料預估僅可偵測到數個至數十個 WIMP 事件的情況下,我們所發展出來的與模型無關的數據分析方法將能大大地縮短收集實驗數據所需的時間:從十年以上縮短至數年內!


決定 WIMP 粒子質量

儘管利用前述我們所發展出來的數據分析方法—不論是透過重建的反衝光譜曲線或是直接利用測量所得的反衝能量—來重建 WIMP 粒子的一維速度分佈函數,可以完全不考慮到 WIMP 粒子的局部密度、和原子核間散射截面量值等,但是 WIMP 粒子的質量卻為一不可或缺的重要參數:調整代入的 WIMP 質量,將影響重建的一維速度分佈函數的外型(shape)—並非僅改變歸一化係數(normalization constant)。理論上來說,此項數據應可從加速器實驗(如大型強子對撞機(Large Hardon ColliderLHC))中相當精確地求得。然而,如果利用直接偵測實驗能夠決定 WIMP 粒子的質量,或是至少給出一個大致的範圍,將有助於確認在加速器實驗中透過高能量對撞所產生的新粒子中確實有構成我們本銀河系光暈的暗物質粒子,其重要性可見一斑,而這也正是我們整個工作的第二個部分。

決定 WIMP 粒子質量的基本概念其實相當簡單:使用不同的探測器材料,我們將測量到不同的彈性散射曲線;然而,從不同的散射曲線—或是相對應的實際測量到的反衝能量—我們應該可以重建出(理論上)相同的一維速度分佈函數,以及給定其矩值。比較不同實驗求出的 WIMP 一維速度分佈函數之矩值,等式中唯一的未知數—WIMP 粒子的質量—也就可以相當輕易地被解出來。

由於此決定 WIMP 粒子質量的方法是建立在前述估計 WIMP 一維速度分佈函數之矩值的方法上,因此自然而然地保留了與 WIMP 粒子的局部密度以及和原子核之間的散射截面量值無關等優點,同時推導出的計算公式中各項元素均可由實驗數據直接求出,並不需要先重建速度分佈函數或估計其矩值。此外,最重要的一項優點為—同樣繼承自估計 WIMP 一維速度分佈函數之矩值的方法—由於我們是同時利用整組(更準確地說,是兩組)實驗數據,因此僅需要數十個 WIMP 事件即可決定出 WIMP 粒子的質量!

整套決定 WIMP 粒子質量的方法僅是基於如此簡單的概念,相較於傳統的數據分析(需數千至上萬個事件)在對實驗數據的要求上卻是如此驚人地簡化,因此一份利用理論預測的彈性散射光譜所做的較簡單模擬已在二○○七年七月於德國卡爾斯魯爾(Karlsruhe)所舉行的「第十五屆國際超對稱暨統一基本交互作用會議(15th International Conference on Supersymmetry and the Unification of Fundamental Interactions (SUSY07))」上給予口頭報告(會議記錄發表於 arXiv:0710.4296)。

然而,從利用理論預測的彈性散射光譜所做的較簡單模擬結果中我們發現到,如果兩組不同實驗所提供之數據的能量範圍約略相同,將會導致一系統誤差—估計出的 WIMP 粒子質量將低於實際質量約百分之十到二十,倘若 WIMP 粒子的質量為數百 GeV,此系統誤差將會更提高。為了能夠在維持「不採用任何粒子物理模型」的條件下修正此一系統誤差,我們花了相當長的時間將決定 WIMP 質量的基本公式做進一步地推展,終於成功地在「與模型無關」的要求下消除此一系統誤差,並完成完整的 Monte Carlo 模擬。


決定 WIMP 與核子間不同散射截面的比值

在暗物質的直接偵測實驗中,除了 WIMP 粒子的速度分佈函數及質量外,它們與原子核中質子、中子的散射截面之形式與量值亦為一重要元素。一方面可以提供更多關於 WIMP 粒子性質的資訊,以做為與加速器實驗資料比對的參考外;另一方面,由於在不同基本粒子標準模型的推廣理論(如超對稱模型)預測下, WIMP 與核子間不同散射截面的相對量值大小差異頗大,因此即使僅能決定出此比值(而非各個散射截面的實際量值),亦有助於在不同理論間確認出暗物質粒子。

此外,儘管天文物理學的觀測結果仍有相當程度的不確定性,我們對於本銀河系的光暈結構、暗物質在太陽系附近的局部密度等已有一個大致的瞭解,但是,我們對 WIMP 粒子的基本性質如質量等則完全沒有概念。因此傳統上直接偵測實驗的預測和測量結果都將 WIMP 粒子與核子間的散射截面表示為 WIMP 質量的函數;也就是說,單獨利用傳統的直接偵測實驗之數據分析方法並無法將此兩元素各自決定下來,而必須藉助如加速器實驗等的數據來決定兩者之一,方能結合直接偵測實驗結果來決定另一者。然而,藉助於我們先前完成的研究工作,如今我們已經可以在沒有關於 WIMP 粒子與核子間散射截面之資訊的條件下,利用兩個使用不同材料的直接偵測實驗來決定 WIMP 粒子的質量;如果我們能夠反其道而行:在 WIMP 質量未知的情況下獲得 WIMP 粒子與核子間散射截面的資訊,將可讓我們達成「單獨由暗物質的直接偵測實驗數據同時、但各自決定出兩個 WIMP 粒子的重要性質」之目標。

結合我們所發展出的「估計 WIMP 粒子一維速度分佈函數之矩值」以及「決定 WIMP 粒子質量」兩項方法與預測彈性散射光譜的基本公式,並且再次利用「結合兩個(以上)使用不同探測器材料之實驗」的技術,我們亦已發展出可估計 WIMP 粒子和質子、中子間不同散射截面之比值的方法。

此方法同樣建立在前述估計 WIMP 粒子一維速度分佈函數之矩值的方法上,因此亦具有與 WIMP 粒子的局部密度無關,以及不需知道速度分佈函數亦不需要事先估計其矩值、且僅需要數十個實驗數據(測量所得之反衝能量)即可決定出此比值等優點。此外,預測彈性散射光譜之基本公式中的 WIMP 粒子質量,在公式推導的過程中自行消失,也就是說,我們最終所獲得的估計 WIMP 粒子和質子、中子間不同散射截面之比值的公式,與 WIMP 粒子的質量無關。另一方面,就實驗的觀點而言,我們所發展出的這一套數據分析方法,僅要求實驗提供「位於某一(任一)低能量處之散射光譜值」,相較於估計 WIMP 質量時需要整個實驗可測量的能量範圍(約 10 100 keV)內的所有數據,現在我們僅需位於低能量範圍(相對而言,高 WIMP 事件)約 10 20 keV 的能量區間內的數據,此對實驗數據的測量與收集,將更為有利。


決定 WIMP 與核子間交互作用強度

如前所述,我們已發展出可估計 WIMP 粒子和質子、中子間不同形式散射截面比值的數據分析方法。然而,由於 WIMP 粒子和原子核間的散射截面與 WIMP 粒子的局部密度是簡併的(degenerate),以致於我們在「與本銀河系光暈模型(即與 WIMP 粒子的局部密度和一維速度分佈函數)無關」的要求下無法決定出任一單獨散射截面的量值。

為了對單一散射截面能給定一個大致的量值,我們決定引入暗物質粒子在太陽系附近之局部密度目前的公認值,即 0.3 GeV/cm^3。在加入此(唯一的)條件後,我們即可順利地將前述「決定 WIMP 粒子質量」的方法做更進一步地拓展,進而發展出「決定 WIMP 與核子間與自旋無關的散射截面(spin-independent WIMP-nucleon cross section)」的方法。

對大部分的探測器材料來說,由於其原子核之重質量,且原子核中質子、中子之自旋各自互相抵銷,在大部分(超對稱)模型的理論計算下, WIMP 粒子與原子核之間的彈性散射截面應主要為與自旋無關項目的貢獻。因此,此一數據分析方法將可適用於現今大部分實驗所用的探測器。此外,由於我們已經發展出一套可以估計 WIMP 粒子和質子、中子間不同形式散射截面比值的方法,一旦一個散射截面的量值可以給定,其他散射截面的量值即可由此推算出。

當然,如果考慮到天文物理學對暗物質的局部密度之量測的不確定性,由於目前普遍為天文物理學家所接受的範圍為 0.2 ~ 0.8 GeV/cm^3,前述以 0.3 GeV/cm^3 為預設條件所給出之 WIMP 與核子間與自旋無關的散射截面將為一上限。也就是說,儘管在暗物質局部密度的量值上有數倍的不確定性,我們仍可在 WIMP 粒子與標準模型中一般粒子間的交互作用形式和強度上提供較傳統數據分析方法更為精確、多元的資訊。


WIMP 信號的週期震盪現象

如前所述,暗物質直接偵測實驗所測量的彈性散射光譜與 WIMP 粒子的速度分佈函數有關,如果考慮到地球繞著太陽運轉時相對於本銀河系中心的速度呈現週期性的改變,則此散射光譜應當呈現出一週期性上下起伏的現象—夏季時(三至九月)所偵測到的 WIMP 事件數較冬季時(九月至次年三月)為多,且其差異應為(在低於 50 keV 的較低能量範圍內)年平均事件數的約百分之五(實際差異則與測量能量區間相關)。因此,此一震盪效應(annual modulation of the WIMP event rate)的相關研究乃為直接偵測實驗現象學中重要的一環。

在我們發展出的利用實驗測量所得之反衝能量重建 WIMP 一維速度分佈函數的數據分析方法中,我們首先僅考慮利用與時間無關的彈性散射光譜曲線。在獲得前述相當成功的結果後,我們亦理所當然地著手嘗試將整套數據分析方法中擴展至隨時間成週期性震盪之散射光譜。

在此部分的研究工作中,我們首先考慮了在反衝光譜呈週期震盪之情況下對前述重建 WIMP 粒子一維速度分佈函數所造成之影響及所需之修正。我們所做的模擬結果顯示,倘若實驗人員能將實驗進行時間持續一年以上,則我們仍可直接應用前述重建 WIMP 粒子一維速度分佈函數的方法,而無須考慮到 WIMP 粒子具有最高相對速度(最高事件發生率)的確切日期、或此週期震盪之震幅大小等仍具有相當程度不確定性的因素。

同時,我們亦發展了一套利用此「彈性散射光譜之震盪幅度」重建「 WIMP 粒子一維速度分佈函數之震盪幅度」的數據分析方法。在此過程中,除了實驗所測得之反衝能量外,我們尚須利用每個事件的發生時間。由於我們僅考慮「相對震幅」,因此在重建 WIMP 粒子一維速度分佈函數過程中所必須的 WIMP 粒子質量,在此並非必要。

儘管,此部分關於「彈性散射光譜之週期震盪」的研究工作已在理論上獲得相當不錯的成果。根據我們目前所做的簡單模擬結果顯示,如欲獲得較為可信(統計誤差值在可被接受的範圍內)的結果,重建此速度分佈函數之震幅所需之 WIMP 事件數,可能仍將高達數萬件之多。如何適當降低此需求或改善此數據分析過程,仍待做更進一步地研究。


與加速器實驗之配合互補

除了暗物質的直接偵測實驗外,另一個發現新粒子的方法即為傳統的加速器實驗。在加速器實驗中,粒子物理理論的計算預測扮演相當重要的角色。然而,如前所述,至今理論物理學家們對 WIMP (或暗物質)粒子的質量、與標準模型中一般粒子間的交互作用形式及強度並無任何具體的概念,在不同的模型考量或假設下,不時會預測出差異極大、甚至完全相反的結果。如即使同樣在超對稱模型(為一重要的粒子物理標準模型的擴展,然而並非唯一)的基本架構下,在對各個超對稱粒子之質量等性質做不同的假設後,僅就「 WIMP 粒子與質子、中子間與自旋相關的散射截面之比值」的計算,就可以得出從 0.55 2.2 的不同結果。(即使考慮到如夸克質量的測量誤差等因素,仍無法得出一個約略一致的結果!)

因此,倘若有朝一日數個使用不同探測器材料的直接偵測實驗群能夠實際測量到 WIMP 事件,利用上述我們所(將)發展的數據分析方法應能對 WIMP 粒子的質量、以及不同的散射截面等給出一個具體的範圍。在此要再次強調的是,如果使用傳統的重建彈性散射光譜曲線、以擬合出如 WIMP 粒子的質量等參數數值的方法,我們將需要數千個以上的 WIMP 事件,一個使用百公斤級探測器的實驗,將需要數十年的時間來收集如此大量的數據;相對來說,在數年時間內收集到的實驗資料,即足以供予我們的數據分析方法使用。

同時,在比較加速器所產生的(數個)新粒子的質量、散射截面等數據與直接偵測實驗—利用上述我們所(將)發展的或其他與天文學光暈模型有關的數據分析方法—所測量、給定的結果相比較,將能提供確認加速器實驗中所發現的新粒子是否為 WIMP 粒子。


與暗物質間接偵測之配合互補

第三個發現暗物質粒子的方法被稱為「間接偵測(indirect detection)」實驗。主要原理為透過偵測 WIMP 粒子發生成對毀滅後生成之標準模型粒子衰變後產物,如:微中子、正電子(positron)、反質子(antiproton)等。在理論上,透過所測得之特殊能量光譜,應能重建出如質量、不同成對毀滅途徑(channel)的分支比(branching ratio)等數據。

間接偵測實驗中一項重要的分支即為測量來自太陽或地球核心的高能量(TeV 級能量範圍)微中子,如位於南極洲的 AMANDAAntarctic Muon and Neutrino Detector Array)與 IceCube 實驗。透過與太陽或地球組成物質之原子核間發生的彈性散射, WIMP 粒子將損失能量以致於無法逃脫太陽或地球的重力場,其後因多次發生彈性散射而被吸引至太陽或地球的核心。在此由於聚集了高密度的 WIMP 粒子,即使是極小的散射截面亦能有較高的成對毀滅發生率,也因此提供了一條間接發現 WIMP 粒子的途徑。

在這些實驗中,微中子的通量與太陽或地球內部 WIMP 粒子的數量以及其成對毀滅的散射截面、不同成對毀滅途徑的分支比等相關,而 WIMP 粒子密度又與太陽或地球組成物質對其的捕獲速率(capture rate)成正比。而 WIMP 粒子對質子(氫原子核)、中子的彈性散射截面亦與 WIMP 粒子成對毀滅的散射截面有關。因此,一旦透過比對暗物質直接偵測實驗與加速器實驗所得資料確認出 WIMP 粒子後,將能利用加速器實驗的低誤差更準確地估算 WIMP 粒子成對毀滅的散射截面、不同成對毀滅途徑的分支比等、以及 WIMP 粒子在太陽與地球內部的捕獲速率,從而估計出高能量微中子偵測實驗的能量光譜。

另一方面,對來自太陽的高能量微中子,或是宇宙射線中的正電子、反質子、反氘原子(anti-deuterium)等的偵測實驗中,更需要利用天文物理學對本銀河系光暈中暗物質密度之估計、以及更為適當的光暈模型等。對此,將加速器實驗所測得之 WIMP 粒子質量、散射截面的資料,結合先前所述利用直接偵測實驗估計 WIMP 粒子的散射截面以及重建其一維速度分佈函數的方法中,即可反向操作而估計出 WIMP 粒子的局部密度、甚至提供本銀河系光暈結構的資訊。


單中林(Chung-Lin Shan

參考資料

  1. M. Drees and C.-L. Shan, "Reconstructing the Velocity Distribution of Weakly Interacting Massive Particles from Direct Dark Matter Detection Data", J. Cosmol. Astropart. Phys. 0706, 011 (2007) (abstract, pdf, html); arXiv:astro-ph/0703651 (abstract, pdf).
  2. C.-L. Shan, Ph.D. thesis, "Theoretical Interpretation of Experimental Data from Direct Dark Matter Detection", online-dissertations at the Rheinischen Friedrich-Wilhelms-Universität Bonn (abstract, pdf); arXiv:0707.0488 [astro-ph] (abstract, pdf).
  3. M. Drees and C.-L. Shan, "Model-Independent Determination of the WIMP Mass from Direct Dark Matter Detection Data", J. Cosmol. Astropart. Phys. 0806, 012 (2008) (abstract, pdf, html); arXiv:0803.4477 [hep-ph] (abstract, pdf).
  4. C.-L. Shan, "Estimating the Spin-Independent WIMP-Nucleon Coupling from Direct Dark Matter Detection Data", arXiv:1103.0481 [hep-ph] (abstract, pdf).
  5. C.-L. Shan, "Determining Ratios of WIMP-Nucleon Cross Sections from Direct Dark Matter Detection Data", J. Cosmol. Astropart. Phys. 1107, 005 (2011) (abstract, pdf); arXiv:1103.0482 [hep-ph] (abstract, pdf).
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